1.1 การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
ถ้า a , b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว
a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca
เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a
ถ้า a , b และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก a ว่า
ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac หรือตัวประกอบร่วมของ ba และ ca
พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ 15x2y – 18xy2 โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้
15x2y – 18xy2 = 3(5x2y – 6xy2) [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]
= 3x(5xy – 6y2) [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x2y และ 6xy2]
= 3xy(5x – 6y) [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy และ 6y2]
ดังนั้น 5x2y – 18xy2 = 3xy(5x – 6y)
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 5xy + 6x2
วิธีทำ 5xy + 6x2 = (x)(5y) + (x)(6x)
= x(5y + 6x)
ข้อสังเกต x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy และ 6x2 ดึง x ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 12y2z + 20yz
วิธีทำ 12y2z + 20yz = (4yz)(3y) + (4yz)(5)
= 4yz(3y + 5)
ข้อสังเกต 4yz เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y2z และ 20yz ดึง 4yz ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 16x3y3 – 24x4y
วิธีทำ 16x3y3 – 24x4y = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)
= 8x3y(2y2 – 3x)
ข้อสังเกต 8x3y เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x3y3 และ 24x4y ดึง 8x3y ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา
ข้อควรระวัง 1. ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ
2. ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด
3. ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด 4. ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่
ประกอบด้วย นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ ab -2ac + bc -2c2
วิธีทำ ab -2ac + bc -2c2 = (ab – 2ac) + (bc – 2c2)
= a(b – 2c) + c(b – 2c)
= (b – 2c)(a + c)
ดังนั้น ab -2ac + bc -2c2 = (b – 2c)(a + c)
ข้อสังเกต 1. a , c เป็นตัวประกอบร่วม
2. b – 2c เป็นตัวประกอบร่วม
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2
วิธีทำ 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = 5x2z – 3x2 + 5yz – 3y
= (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)
= x2(5z – 3) + y(5z – 3)
= (5z – 3)(x2 + y)
ดังนั้น 5x2z – 3y + 5yz – 3x2 = (5z – 3) (x2 + y)
ข้อสังเกต 1. x2 , y เป็นตัวประกอบร่วม
2. 5z – 3 เป็นตัวประกอบร่วม
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2
วิธีทำ mr2 – 3mp + 15np – 5nr2
= mr2– 3mp – 5nr2+ 15np
= (mr2– 3mp) – [(5n)r2– (3)(5n)p]
= m(r2 – 3p) – 5n(r2 – 3p)
= (r2 – 3p)(m – 5n)
ดังนั้น mr2 – 3mp + 15np – 5nr2 = (r2 – 3p)(m – 5n)
ข้อสังเกต 1. m , 5n เป็นตัวประกอบร่วม
2. r2 – 3p เป็นตัวประกอบร่วม
1.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่าง ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y
พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตัวที่
a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
1.2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0
ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx สามารถใช้สมบัติการแจกแจง
แยกตัวประกอบได้
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x
วิธีทำ x2 + 2x = (x)(x) + (2)(x)
= x(x + 2)
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x
วิธีทำ 4x2 - 20x = (4x)(x) - (4x)(5)
= 4x(x - 5)
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x2 - 6x
วิธีทำ -4x2 - 6x = -2x(2x + 3)
หรือ -4x2 - 6x = 2x(-2x - 3)
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ -15x2 + 12x
วิธีทำ -15x2 + 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)
= 3x(-5x + 4)
หรือ -15x2 + 12x = (-3x)(-5x) - (-3x)(4)
= -3x(5x - 4)
1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0
ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป x2 + bx + c
สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม
ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากการหาผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ ดังนี้
x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + (2)(3) [ 2 + 3 = 5 และ (2) × (3) = 6 ]
= x2 + (2x + 3x) + (2)(3)
= (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]
= (x + 2)x + (x + 2)(3)
= (x + 2)(x + 3)
นั่นคือ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้
1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]
= x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2 + (2+ 3)x + (2)(3)
= x2 + 5x + 6
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 + 5x + 6 ได้ดังนี้ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
ให้สังเกตว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2+ 5x + 6 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน
ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ 5
(x + 4)(x – 5) = (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
= x2 + (-1)x + (-20)
= x2 - x - 20
ดังนั้น แยกตัวประกอบของ x2 - x - 20 ได้ดังนี้ x2 - x - 20 = (x + 4)(x – 5)
จากการหาผลคูณ (x + 4)(x -5) ดังกล่าว จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ x2- x – 20
โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้
x2- x – 20 = x2 + (-1)x + (-20)
= x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5) [4 + (-5) = -1 และ (4)(-5) = -20 ]
= x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
= (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
= (x + 4)x + (x + 4)(-5)
= (x + 4)[x + (-5)]
= (x + 4)(x -5)
นั่นคือ x2 - x - 20 = (x + 4)(x - 5)
ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ x2- x – 20 ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม
สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ -20 และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ -1
จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้ ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง เช่น x2+ 6x + 8
เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ 8 และบวกกันได้ 6 ก่อน ดังนี้
เนื่องจาก x2 + 6x + 8 = x2 + (2 + 4)x + (2)(4)
= x2 + (2x + 4x) + (2)(4)
= (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]
= (x + 2)x + (x + 2)(4)
= (x + 2)(x + 4)
นั่นคือ x2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
ในกรณีทั่วไป เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป x2 + bx + c เมื่อ b , c เป็นจำนวนเต็ม
และ c ≠ 0 ได้ ถ้าเราสามารถหา จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ c และบวกกันได้
เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x คือ b
ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn = c และ m + n = b
จะได้ว่า x2 + bx + c = (x + m)(x + n)
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ x2 – 10x + 21
วิธีทำ เนื่องจาก (-3)(-7) = 21
และ (-3) + (-7) = -10
ดังนั้น x2 – 10x + 21 = [ x + (-3)][ x + (-7)]
นั่นคือ x2 – 10x + 21 = ( x -3 )( x -7 )
ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 5x - 6
วิธีทำ เนื่องจาก (-1)(6) = - 6
และ (-1) + (6) = 5
ดังนั้น x2 + 5x - 6 = [ x + 6][ x + (-1)]
นั่นคือ x2 + 5x - 6 = ( x + 6)( x -1 )
ที่มา http://www.ichat.in.th/bboy/topic-readid33335-page1
